Erfahrungsbericht zum Modul "Algorithmische Mathematik" an der Fernuniversität Hagen

Egal worüber ich in Zusammenhang mit diesem Modul nachdenke, es gibt immer zwei sehr entgegengesetzte Aspekte: Hochinteressant, dafür schwierig, wenig umfangreich, dafür intensiv, sehr theoretisch, trotzdem vielseitig anwendbar. Ambivalent ist wohl der richtige Ausdruck für dieses ganz besondere Modul. Bei der Vorbereitung auf die Klausur gibt es aus meiner bisherigen Erfahrung heraus trotzdem einige Punkte, mit denen man sich das Leben etwas leichter machen kann. Lehnt Euch entspannt zurück und lest aufmerksam, es wird das letzte Mal in diesem Semester sein ;).

Unbedingte Voraussetzung für AlgoMathe ist die Wirtschaftsmathematik. Wer den gesamten Stoff der WiMathe nicht lückenlos beherrscht (außer vielleicht Integralrechnung), ist bei AlgoMathe aufgeschmissen. Kettenregel, Produktregel, Logarithmen, Potenzregeln, Matrizenrechnungen in allen Varianten, Simplex, Stochastik usw.  müssen aus dem Stand angewandt werden können, denn die sind hier nur Beiwerk. Was in Wirtschaftsfächern oft Inhalt von seitenlangen Auseinandersetzungen und Erklärungen ist, wird in AlgoMathe - wenn überhaupt - nur kurz in einem Nebensatz erwähnt. Rechnen, wie man es aus der Schule oder den Wirtschaftsfächern kennt, ist hier nicht das Ziel, sondern nur Mittel zum Zweck. Man taucht also erstmals in die völlig abstrakte Welt der höheren Mathematik ein. Irgendwie befremdlich, irgendwie aber auch "geil" (und schon wieder ambivalent).

Ein großes Problem ist die Kluft zwischen dem Punkt, wo die Wirtschaftsmathematik aufhört und dem Punkt, wo die Algorithmische Mathematik beginnt. Diesen Graubereich müssen wir Wirtschaftsinformatiker mühsam selbst aufdröseln. Die Informatiker haben es hier meines Erachtens etwas einfacher, weil das Modul "Grundlagen Mathematik" ein bißchen näher an den Startpunkt der AlgoMathe heranführt.

Die Vorbereitung

Bei der Vorbereitung zur Algorithmischen Mathematik muss man folgendes beherzigen:

Nimm, was du kriegen kannst! 

Damit meine ich, dass es nicht DIE Quelle der Erkenntnis gibt. Man muss sich von überall Informationen holen: Youtube, Skripten anderer Unis, Wiki (für Nicht-Freaks), Foren...einfach alles. Deswegen führe ich hier auch eine ganze Reihe von Quellen an, die mich allesamt nicht zur Gänze überzeugt haben, aber in Teilbereichen ganz sinnvoll sind.

Wer meinen Blog verfolgt hat, wird wissen, dass ich zu Beginn des Semesters voller Elan zu meinem ersten Mentoriat gefahren bin. Diesbezüglich kann ich natürlich nur meine subjektive Meinung wiedergeben und auch nur diesen einen Mentoriatsort beurteilen. Kurzum: Für mich war das nichts. Die Vortragende war irgendwie konzeptlos, hat viel zu viel vorausgesetzt und war insgesamt wenig mitreissend. Das erste, was wir gemacht haben, war eine komplexe Induktion ohne irgendeinen Kommentar zu Sinn oder Zweck des Ganzen. Zu diesem Zeitpunkt hatte ich aber noch keinerlei Ahnung, was eine Induktion überhaupt ist! So ging es dann auch weiter, irgendwas von da, irgendwas von dort und typische "das sollte eh klar sein"-Sätze, wie Mathematiker sie immer so gerne benutzen. ("Nein, es ist NICHT klar, sonst säße ich nicht hier!")

Aus diesen Gründen habe ich meine Mentoriatskarriere auch gleich wieder beendet, Aufwand/Nutzen standen in keinem Verhältnis. Prinzipiell würde ich euch aber dennoch zu einem Mentoriat raten, es ist ja nicht jeder Vortragende gleich. Gerade in diesem Modul braucht man jemanden, der einem in verständlicher Sprache erklärt, worum es eigentlich geht und wofür man das braucht. Mit etwas Glück ist euer Vortragender besser als der meine (und der der Ort des Mentoriats näher).

Mein nächster Schritt waren die Vorlesungen von Fernstudium-Guide.de. Auch damit war ich nicht wirklich zufrieden. Die Vortragende kannte ich schon aus dem Externen Rechnungswesen - und da habe ich keine 5 Minuten durchgehalten. Die Videos sind ähnlich chaotisch wie das Mentoriat, die Präsentation erscheint ziemlich antiquiert und wenig ansprechend. Mich hat das Erscheinungsbild jedenfalls an die ersten Webseiten aus den Neunzigern erinnert. Auch didaktisch sind die Videos leider alles andere als eine Meisterleistung. Vielleicht ist das aber auch ein persönliches Problem meinerseits, es kann eben nicht jeder mit jedem.

Zugegebenermaßen, die Algorithmische Mathematik ist sicherlich schwer zu präsentieren, trotzdem geht es meines Erachtens besser. Es ist schade, dass sich beispielsweise Herr Stahlberger nicht zu dieser Thematik durchringen konnte, denn seine Videos haben genau das, was hier sehr oft fehlt: Struktur, sprachliche und gestalterische Eleganz, und zu guter Letzt sowas wie Begeisterung, die einen mitnimmt durch diesen Dschungel an Themen.

Es ist zudem wenig hilfreich oder gar witzig, wenn die Videomutter den gefühlt 10jährigen Sohnemann das Königsberger Brückenproblem vorlesen lässt. Ganz ehrlich, was soll das? Ich verstehe durchaus Humor, aber sowas gehört hier einfach nicht hin. Obwohl ich die Videos also nicht unbedingt empfehlen kann, würde ich sie trotzdem bei der Vorbereitung berücksichtigen, insbesondere als Erstkontakt mit diesem Modul. In AlgoMathe muss man sich die Informationen einfach aus allen möglichen Ecken und Enden besorgen - und die FSG-Videos sind nunmal eine davon. Es reicht ja schon, wenn man eine Handvoll Sachverhalte damit besser versteht.

[Anmerkung: Jemand hat mir erzürnt geschrieben, meine Video-Rezension sei - sinngemäß - boshaft. Dazu nur soviel: Ich habe die Materialien von FSG bisher immer hoch gelobt, diesmal eben nicht. Warum? Weil das nunmal meine Meinung ist, die ich mir nicht verbieten lasse - weder im positiven, noch im negativen. Deal with it!]

Zu den Uni-Skripten habe ich noch gar nichts gesagt...nicht ohne Grund. Prinzipiell muss man festhalten, dass die Skripten aus Sicht eines Mathematikers wohl äußerst elegant geschrieben sind. Aber: Sind wir Mathematiker oder wollen es werden? Wohl eher nicht (ansonsten gäbe es auch den Studienzweig Mathematik als sinnvolle Alternative)! Aus Sicht eines Wirtschaftsinformatikers ohne hochschulmathematische Ambitionen sind die Skripten ein Buch mit 49^(1/2) Siegeln, zumindest waren sie das für mich. Ich habe mir zwar alles mal durchgelesen, das hat aber wenig Erkenntnisgewinn gebracht. So paradox sich das anhört, aber die Skripten würde ich mir erst antun, wenn ich den Stoff bereits verstanden habe. Dann kann man sicher noch nützliche Infos herausziehen. Eine mathematisch jungfräuliche Bearbeitung halte ich jedoch für extremst mühsam. Ich vermisse in den Skripten die Prosa, oder "schmutzige Sprache", wie Prof. Hochstättler eine mathematisch wohl nicht korrekte, aber dafür verständliche Erklärung gerne nennt. Zu einigen Themen, die immer wieder mal in den Klausuren vorkommen, findet man dennoch in den Skripten noch die brauchbarsten Informationen, z.B. wie man ein lineares Optimierungsproblem in Standardform bringt und in ein Minimierungsproblem umformt.

Apropos Prof. Hochstättler: Auf der AlgoMath-Seite der Virtuellen Universität gibt es Videos von den Studientagen mit Winfried himself. Auch diese Videos bringen einen gewissen Erkenntnisgewinn in bestimmten Bereichen. Also anschauen! Empfehlen würde ich sie aber nicht als Einstieg, sondern zur Komplettierung einer bereits vorhandenen Basis. Noch aufschlussreicher als die Studientagsvideos waren meines Erachtens die Videos zu den Übungsaufgaben. Da kommen mehr nützliche Hinweise als bei der eigentlich vorausgegangenen Erklärung.

Jetzt habe ich schon sehr viele Quellen genannt, aber wie soll man das alles unter einen Hut bringen? Was ich persönlich sehr gerne mag sind Zusammenfassungen, die ich als roten Faden benutze und dann ergänze. Als bekennender Nicht-Selbst-Zusammenfassungsschreiber habe ich auch in AlgoMathe auf eine externe Zusammenfassung zurückgegriffen. Auf studienservice.de hat der User "Chris21" folgendes Material zur Verfügung gestellt:

Kurs_01142_Algorithmische Mathematik_Zusammenfassung

Diese Zusammenfassung war meine Hauptquelle bei der Vorbereitung. Alle bereits genannten und alle noch folgenden Quellen haben darin mit punktuellen oder ausführlicheren Ergänzungen Einzug gefunden. Am Ende der Vorbereitung hat sich der Umfang der Zusammenfassung bei mir fast verdreifacht. Doch Vorsicht: Ein paar wenige Fehler haben sich eingeschlichen (weiter unten mehr dazu).

Nächster Punkt: Youtube. Es gibt unzählige Videos zu fast allen mathematischen Themen, da heißt es ausmisten. Im Youtube-Kanal von saschafrehse findet ihr eine brauchbare Playlist zu den relevanten Algomathe-Bereichen. Aber auch da ist nicht alles Gold, was glänzt. Besonders angetan haben es mir in diesem Zusammenhang die Videos vom "Grufti-Professor" Christian Spannagel, der an der PH Heidelberg unterrichtet. DAS ist angewandte Didaktik: Witzig, schlüssig, interessant. Zieht Euch unbedingt alles rein, was Spannagel an relevanten Themen anbietet! Diese Videos eignen sich zudem sehr gut als Einstieg.

Langsam komme ich ans Ende meiner Auflistung. Ich habe noch sehr viele weitere Quellen für punktuelle Fragestellungen bemüht, die ich über Google gefunden habe. Es macht keinen Sinn, hier alle aufzuzählen. Wiki-Artikel fand ich, bis auf wenige Ausnahmen, nicht weniger kompliziert als die Skripten. Es gibt aber noch das Wiki für Mathe-Nichtfreaks, dort habe ich insbesondere zu Graphen und Bäumen einiges rausgezogen. Mathematiker scheinen allgemein ein sehr mitteilungsbedürftiges Volk zu sein, denn die Masse an frei verfügbaren pdf's ist schon erstaunlich.

Ach so, fast hätte ich noch den Matousek und Nesetril übersehen. Das Buch "Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise" habe ich mir gekauft, enthusiastisch begonnen zu lesen, aber im weiteren Verlauf meiner Lernkarriere sträflich vernachlässigt. Ich frage mich jetzt gerade: Warum eigentlich? Ich glaube, ich habe das Buch schlichtweg vergessen. Simple as that.

Zu erwähnen ist auch noch die Newsgroup, die unter anderem vom Professor höchstpersönlich betreut wird. Man bekommt dort eine Antwort auf jede Frage, allerdings bleibt immer die Frage, ob man die Antwort verstanden hat ;). Es wird jedenfalls mit dem selben Vokabular argumentiert, das man auch in den  Skripten vorfindet. Ein schöne erklärte Antwort für Laien aus ganzen Sätzen und mit "schmutziger Sprache" wird man dort vergeblich suchen. Irgendwie beißt sich da die Katze in den Schwanz. Schaut es euch an und bildet euch selbst ein Urteil. Prinzipiell gibt sich der Lehrstuhl wirklich sehr viel mehr Mühe, als andere Lehrstühle das tun (fragt mal den Hering, ob er in einer "Neuigkeitengruppe" aktiv sein will). Man bekommt oftmals sogar am Wochenende eine Antwort.

Zum Schluss noch ein kurzer tabellarischer Überblick über die  Lernquellen und eine Empfehlung zur Vorgehensweise:

1. Basis: Zusammenfassung
2. Basis ergänzen mit den Youtube-Videos, insbesondere den Spannagel-Videos
3. Basis ergänzen mit Fernstudium-Guide Videos
4. Parallel dazu: Mentoriat besuchen, falls Aufwand/Nutzen dafür sprechen
5. Steht die Basis einmal: Studientag-Videos und Videos zu den Übungen von Prof. Hochstättler
6. Optional, wenn genug Zeit, sowie punktuelle Ergänzungen: Uniskripten.
7. Üben, üben, üben!

Sieht mühsam aus? Ist es auch! Vielleicht habe ich auch zuviel Aufwand betrieben, aber Halbwissen bringt in diesem Modul rein gar nichts. Sehr wichtig ist hier auch das "retrograde Lernen", oder wie Prof. Hochstättler sagen würde: "Das ochsen von Altklausuren". Man kann sich die Theorie reinziehen sooft man will, in die Mitte der Thematik stößt man oft erst durch Rechnen von Beispielen vor. Reserviert deshalb unbedingt 3-4 Wochen Eurer Vorbereitungszeit für das Rechnen der alten Klausuren (die findet ihr übrigens auf der Hompage der Fachschaft). Nicht, um sie auswendig zu lernen, sondern um sukzessive Euer Verständnis zu schärfen. Gerade ein Bereich wie z.B. Kuhn-Tucker ist sehr komplex und auch in meinen alternativen Lernquellen nicht oder nicht ausreichend gut beschrieben.

Die Klausurformalitäten

Bei der Klausur handelt es sich um eine Auswahlklausur, d.h. die Anzahl der Aufgaben ist so bemessen, dass man ca. 3Stunden zu deren Lösung braucht. Für 100% muss man aber nur 2/3 der Beispiele korrekt bearbeiten. Letztlich benötigt man also 30 von 90 verfügbaren Punkten, um die Klausur positiv zu absolvieren, und 60 von 90 Punkten für ein "Sehr gut". Eigentlich ein sehr faires System. Es darf zudem ein beidseitig handbeschriebenes A4-Blatt (Spicker) zur Klausur mitgebracht und verwendet werden. Einige Spickervarianten findet ihr HIER.

In diesem Zusammenhang möchte ich noch folgendes loswerden: Retrospektiv betrachtet habe ich nicht den Eindruck, dass der Lehrstuhl es darauf anlegt, bösartig gegenüber uns Studenten zu sein. Die Varianz im Schwierigkeitsgrad der Klausuren ist natürlich sehr ärgerlich, aber wohl bis zu einem gewissen Grad auf Betriebsblindheit und fehlendes Fingerspitzengefühl zurückzuführen. Außerdem habe ich durchaus den Eindruck, dass beim Korrigieren der Klausuren eher wohlwollend beurteilt wird. Im Nachhinein redet sichs natürlich leicht, dennoch tendiert mein grundsätzlicher Eindruck vom Lehrstuhl in diese Richtung (entgegen aller bisher geäußerten Meinungen). Der größte Kritikpunkt sind und bleiben die Skripten und die Lücke zu den vorbereitenden Fächern.

Die Klausuren selbst finde von der Aufgabenstellung her äußert raffiniert! Die Beispiele sind oft so gestaltet, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, zu einem Ergebnis zu kommen. Je nach Wissensstand kann man sich das Leben deshalb einfach oder schwer machen. Gute Beispiele dafür sind etwa der Isomorphienachweis von Bäumen, der Simplexalgorithmus oder LU/Cholesky-Faktorisierung. Von wahnsinnig kompliziert und fehleranfällig bis hin zur schnellen Blickdiagnose ist hier alles möglich (und erlaubt). Später noch mehr dazu.

Der Aufbau der Klausuren ist immer relativ ähnlich: Induktionsbeweis, LU/Cholesky, Lineare optimierung, Nicht-Lineare Optimierung (Kuhn-Tucker), Umwandeln von Zahlensystemen, Havel-Hakimi, Isomorphie und Graphenspielerein, stabile Hochzeiten. Aber ganz so einfach und berechenbar ist es dann doch wieder nicht, denn es gibt immer mal wieder Varianten selbst bei den bekannten Themen, die einen ganz schön aus dem Konzept bringen können. Man muss also schon ganz genau wissen, was man da macht und worum es geht.

Bei der Klausur selbst müsst ihr unbedingt taktisch vorgehen! Da der strukturelle Aufbau doch immer sehr ähnlich ist, kann und soll man sich nämlich schon im Vorfeld überlegen, womit man beginnt. Das würde ich vor allem davon abhängig machen, wie gut ihr die jeweiligen Themen beherrscht, als Nebenbedingung dann auch das Preis/Leistungsverhältnis der Aufgabe in Betracht ziehen (z.b. Kuhn Tucker bringt verhältnismäßig wenige Punkte, ist aber viel Rechnerei). Ich habe mit der linearen Optimierung begonnen, dann bei LU/Cholesky weitergemacht, dann Zahlen umgewandelt, dann Havel-Hakimi und Isomorphie. Damit hat man schonmal einen guten Sack voller Punkte und kann dann etwas entspannter an die restlichen (Knobel-)Aufgaben rangehen. Da beispielsweise die Induktion bei der Vorbereitung zwar oft, aber eben nicht immer geklappt hat, habe ich sie erstmal außen vor gelassen und erst später bearbeitet (hat übrigens geklappt). Denn verheddert man sich da, kann man sehr schnell viel Zeit liegen lassen und wird dann immer nervöser.

"Zeit liegen lassen" ist auch so ein Punkt. Es ist sehr wichtig abzuschätzen, wieviel Zeit man in eine Aufgabe investiert, wenn sie nicht auf Anhieb klappt. Sofort aufzugeben ist nicht gut, zuviel Zeit zu investieren aber auch nicht. Deshalb setzt Euch zu den Altklausuren immer wieder mal mit der Stoppuhr hin, damit ihr ein Gefühl für das richtige Maß bekommt.

Meine ganzen Anmerkungen erscheinen dem Einen oder Anderen wohl sehr pedantisch, aber für mich war es einfach wichtig, mir ein optimales Setup zu schaffen und alle beeinflussbaren Variablen zu optimieren. 1.) Nerven beruhigen, 2.) Punkte einsammeln,  3.) Knobeln. Keinesfalls umgekehrt!

Ein paar punktuelle Anmerkungen...

Simplex-Algorithmus:
Simplex hin, Simplex her, den kennt ihr schon zur Genüge aus den vergangenen Modulen? Klar, aber nicht mit einer Hilfszielfunktion und Bland's Rule. Vom Prinzip her ist die Vorgehensweise natürlich ähnlich, aber das soll hier gar nicht das große Thema sein, ich will auf was ganz anderes hinaus.

Im Rahmen der Vorbereitung habe ich so gut wie alle Altklausuren durchgerechnet, natürlich immer inklusive der Simplex-Aufgabe. Oft hat die Rechnerei funktioniert, manchmal aber ich nicht. Und genau dann hat man ein Problem! Die Fehlersuche bei Simplextableaus ist ein Albtraum, kostet viel Zeit und ist meistens nicht von Erfolg gekrönt. Ihr kennt das sicher alle. Dabei kommt der Simplex aber bei so gut wie jeder Klausur vor, das sind also wichtige, berechenbare Punkte. Ich habe mich dann gefragt, wie ich hier am besten vorgehen soll, um Fehler zu vermeiden...und dann fiel es mir wie Schuppen von den Augen! Unter den Aufgaben stand nämlich meistens (nicht immer!) "[...]grafische Lösung erlaubt.". Bisher hatte ich das geflissentlich ignoriert, grafische Lösungen sind doch was für Warmduscher. Ich dusche aber ohnehin ganz gern warm, also habe ichs probiert und konnte nur Vorteile daraus ziehen: Erstens geht die Zeichnerei um einiges schneller und zweitens läuft man keinerlei Gefahr, sich bei den ganzen Tableaus zu verhaspeln. Also übt neben der Rechnerei auch unbedingt die grafische Lösung, dann ist der Simplex in 5 Minuten erledigt.

Kuhn-Tucker:
Ich behaupte mal, dass das eins der am wenigsten verstandenen Themen der AlgoMathe ist. Das sieht man unter anderem in der Zusammenfassung, die ich oben als basale Lernquelle empfohlen habe. Darin ist die nichtlineare Optimierung nur für irgendeinen beliebig herausgepickten Einzelfall erklärt, was aber längst nicht ausreichend und vor allem bei anderen Aufgabenstellungen auch schlichtweg falsch ist. Bei mir ist der Groschen erst gefallen, als ich mir den Wiki-Artikel zum Lagrange-Multiplikator durchgelesen habe. Bei KT macht man nämlich genau das, nur eben für mehrere Nebenbedingungen (die man nacheinander aktiv setzt). Es würde den Rahmen dieses Artikels sprengen, wenn ich das genau erklären würde, aber als erster Anhaltspunkt ist der Wiki-Artikel Gold wert.

Isomorphie von Bäumen:
Auch hier kann man die komplizierte oder die offensichtliche Variante wählen. Wer es kompliziert und fehleranfällig will, bestimmt die Baumcodes (das Spielchen mit den Klammern), wendet dafür relativ viel Zeit auf und riskiert dennoch, dass irgendwo ein lexikografischer Fehler passiert. Andererseits kann man auch einfach den Baum als solchen betrachten, einen signifikanten Knoten suchen (z.B. den einzigen Knoten mit Grad 4 oder was auch immer) und sich von da ausgehend die Knotengrade der benachbarten Knoten ansehen. Sind die Grade alle gleich, ist der Baum/Graph isomorph. Die Begründung muss dann in der Klausur klar und nachvollziehbar formuliert werden, wird aber vom Lehrstuhl so akzeptiert (und m.E. sogar begrüßt).

LU-Zerlegung/Cholesky:
Diese beiden Verfahren sind ein Dauerbrenner bei der Klauser, die eine oder andere Variante davon kommt immer dran. LU/Cholesky müsst ihr ohne wenn und aber beherrschen! Beim Cholesky gibt es eine Formel, mittels derer man die Werte ausrechnen kann. Ich fand die Anwendung dieser Formel extrem verwirrend und fehleranfällig, stattdessen habe ich die L-Matrix immer mittels Matrixmultiplikation (L x LT) ausgerechnet. Wie das genau geht, steht in der Zusammenfassung. Ich würde Euch das auch empfehlen.

Induktion:
Die Induktion ist gefinkelt. Einerseits eine einfach Sache, wenn man sie mal verstanden hat, andererseits muss man aber oftmals tief in die mathematische Trickkiste greifen, was nicht unbedingt jedermanns Sache ist. Prinzipiell ist es wichtig, sich einmal die unterschiedlichen Arten von Induktionsbeweisen vor Augen zu halten und dann jeweils ein Beispiel mit dem methodischen Vorgehen auf den Spicker zu schreiben. Ich habe dabei folgende Induktionsbeweisarten unterschieden und geübt:

• Teilbarkeit
• Summen
• Produkte
• Ungleichungen
• Rekursive Folgen
• Ableitungen

Zum Schluß bleibt mir nur zu sagen, dass AlgoMathe durchaus interessant sein kann, wenn man einmal einen Zugang dazu gefunden hat. Und denkt immer daran: Ab jetzt heißt es abends nicht mehr Schäfchen zählen, sondern Zahlensysteme umrechnen!